Matesis ♥

İnsanlık tarihinin en eski bilimlerinden birinden bahsetmek istiyorum. O kadar gevezelik yaptık elbet bizimde aşık olduğumuz birşeyler var bu galakside. Çok eskiden matematik, sayıların ve şekillerin ilmi olarak tanımlanırdı. Eski Yunanca matesis kelimesi matematik kelimesinin köküdür ve Ben bilirim anlamına gelmektedir. Barış Manço abimizin şarkısıyla pek bir alakası yoktur. Bu anlamı çıkartmak isteyenler çıkartabilir. Daha sonradan sırasıyla bilim, bilgi ve öğrenme gibi anlamlara gelen μάθημα (máthema) sözcüğünden türemiştir.

Biraz Topoloji'den bahsetmek istiyorum. Matematiğin ana dallarından biri. Yunanca'da yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs (konumun analizi) deyimi kullanılıyordu. Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Uzun lafın kısası topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır.

Matematiksel tanım

X herhangi bir küme, T ise X kümesinin altkümelerinin bir kısmından oluşan bir küme olsun. Eğer T aşağıdaki koşulları sağlıyorsa T'ye X'in üzerinde bir topoloji denir:

1. Boşküme ve X, T'nin elemanları olmalıdır.
2. T'nin herhangi sayıda elemanının (X'in altkümesi olarak) birleşimi yine T'nin elemanı olmalıdır.
3. T'nin sonlu sayıda elemanının kesişimi yine T'nin elemanı olmalıdır.

Bu koşulların sağlanması durumunda T ile donatılmış X kümesine bir topolojik uzay denir.

Birde tatlı niyetine Soyut Cebir dediğimiz veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebir, vektör uzayı, modüller, alanlar, halkalar gibi cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Soyut cebir kavramı günümüzde tüm cebirsel yapılar üzerine yapılan çalışmayı ifade etmektedir, temel cebirden farkı, bilinmeyen, çözümsüz gerçek ve karmaşık sayılardan oluşan cebirsel ifadeler ve formüller için doğru kurallar gösterir.

Geldik dananın kuyruğuna. Kopan cinsten değil tabi. "Sıralama" adını verdiğimiz bir küme ve o küme üzerinde ikili bir ilişki içeren aksiyomatik sistemlere bakalım. Bilinen sıralama    ilişkisinin soyutlanmasıyla elde edilirler. Çok arsız oldukları söylenir şöyle ki:

Kümemize X, ilişkimize R adını verecek olursak, aşağıdaki aksiyomların sağlandığını varsayarız.

• X kümesinin her a elemanı için R(a,a) ilişkisi sağlanmalıdır. ( şeklinde düşünülebilir, yansıma özelliği olarak bilinir.)
• X kümesinin herhangi iki a ve b elemanı için R(a,b) ve R(b,a) ilişkileri sağlanıyorsa, a = b olmalıdır. (hem    hem de  sağlanıyorsa a=b dir diye düşünülebilir, antisimetrik olma özelliği olarak bilinir.)
• X kümesinin herhangi üç a, b, ve c elemanı için hem R(a,b) hem de R(b,c) ilişkileri ağlanıyorsa, o zaman R(a,c) ilişkisi de sağlanmalıdır. (hem     hem de      ise  de olmalıdır diye de düşünülebilir, geçişkenlik özelliği olarak bilinir)

Sıralamalara örnekler vermemiz gerekirse: 

(Doğal Sayılar, ilişkisi) -- (Rasyonel Sayılar, ilişkisi) -- (Reel Sayılar, ilişkisi) --
(Kümeler Uzayı*, ilişkisi) * Teknik olarak bir küme değildir ancak bu sorun yaratmaz rahat olun.

Her sıralama nesnesi bir topolojik uzay yapısına sahiptir.
Zorn'un Lemması, sayesinde kısmi sıralamalar matematiğin pek çok alanında uygulama bulmuşlardır. Mesela *halka'larda maksimal ideallerin varlığı Zorn'un Lemması ve ideallarin   ilişkisine göre kısmi bir sıralama oluşturduğu gerçeği kullanılarak ispatlanır.

(*Halka, çeşitli metallerden veya tahtadan yapılmış çember değil elbette; matematiğin temel yapılarından biridir ve soyut cebirde tam sayıların soyutlamasıdır. Halka her şeyden önce bir kümedir ve belli özellikleri sağlar. Bu yapıyı işleyen dala halka kuramı denir. Halkalara örnek olarak polinomlar, modülo n ya da karmaşık sayılar verilebilir.) Halka verir talkını, kendi yutar salkımı da diyebiliriz halk dilinde.

Sıralamalarla ilgili son bir lakırdı edip bitirelim, iyi sıralamar matematikte nispeten nadir gözlenen, çok güçlü özellikler içeren objelerdir. İyi-sıralılık ilkesi, küme kuramının bir önermesidir. Her küme iyi sıralı bir küme yapılabilir. Bu teorem yararlıdır çünkü sonluötesi tümevarımın her kümede uygulanabilmesini sağlar. İyi-sıralılık ilkesi seçim aksiyomuna denktir.
Georg Cantor iyi-sıralılık ilkesini "temel bir uslamlama kuralı" olarak kabul ediyordu. Buna karşın çoğu matematikçi örneğin (Reel Sayılar) kümesinin iyi-sıralı bir küme yapılabileceğinden kuşku duymaktaydı. Örneğin 1904 yılında Julius König bunu kanıtladığını düşünüyordu fakat Felix Hausdorff kısa bir süre sonra kanıtlamada bir hata buldu. Ernst Zermelo, iyi-sıralılık ilkesini kanıtlamak için seçim aksiyomunu "kuşku duyulmaz mantıksal bir ilke" olarak kabul etmiş ancak yine kısa bir süre sonra bu aksiyomun iyi-sıralılık ilkesine denk olduğu anlaşılmıştır. Seçim aksiyomu, dolayısıyla iyi-sıralılık ilkesi, Zermelo-Fraenkel-Küme-Kuramı'ndan bağımsızdır. Başka bir deyişle hem bu ilke hem de karşıtı, çelişki doğmadan doğru olarak kabul edilebilir.

Evet görüldüğü üzere kıçımızıda yırtsak matemetik üzerine bir nobel ödülü alamayacağız. Hikayeyi biliyorsunuz, her yıl Nobel Akademisi beş disiplin (edebiyat, fizik, kimya, ekonomi, fizyoloji veya tıp) ödüllendirirken, bu listede matematik yok. Alfred Nobel matematik ödülü koymak istememiştir, çünkü karısı bazen de metresi olduğu söylenilen bir kadın onu aldatmış veya dönemin ünlü matematikçisi olan Gosta Mittag- Leffler’in uğruna terk etmiştir. 
Buradan çıkaracağımız matematiksel sonuç; "Matematikçiler yatakta iyidir." ♥